distribucion de probabilidad normal

se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de la distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.
La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss y es el gráfico de una función gaussiana.
La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.De hecho, la estadística es un modelo matemático que sólo permite describir un fenómeno, sin explicación alguna. Para la explicación causal es preciso el diseño experimental, de ahí que al uso de la estadística en psicología y sociología sea conocido como método correlacional.
La distribución normal también es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos.

Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal son:
-caracteres morfológicos de individuos como la estatura;
-caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco;
-caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos;
-caracteres psicológicos como el cociente intelectual;
-nivel de ruido en telecomunicaciones;
-errores cometidos al medir ciertas magnitudes;
etc.

La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia estadística. Por ejemplo, la distribución muestral de las medias muestrales es aproximadamente normal, cuando la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es normal.[1] Además, la distribución normal maximiza la entropía entre todas las distribuciones con media y varianza conocidas, lo cual la convierte en la elección natural de la distribución subyacente a una lista de datos resumidos en términos de media muestral y varianza. La distribución normal es la más extendida en estadística y muchos tests estadísticos están basados en una supuesta "normalidad".

En probabilidad, la distribución normal aparece como el límite de varias distribuciones de probabilidad continuas y discretas. Distribución Normal No Estándar (Tipicación).
Si X tiene una distribución normal con media μ y desviación estándar σ, entonces:

Se dice que tiene una distribución normal estándar.
Aproximación de la Distribución Binomial por la Normal.
Sea X una variable aleatoria continua que sigue una distribución de probabilidad binomial: X ~ B(n, p), si n·p ≥ 5 y por ende, n·q ≥ 5, se pude aproximar por una distribución normal:

La media, al igual que en la distribución binomial, viene dada por:
μx = E(X) =n·p
Y la varianza, al igual que en la distribución binomial, viene expresada por:
σx2 = E[(X - μx)2 = n·p·(1 - p)

Corrección por continuidad:
1. P(a ≤ X ≤ b) = P(a - 0.5 ≤ X ≤ b + 0.5)
2. P(a <.X ≤ b) = P(a + 0.5 ≤ X ≤ b + 0.5)
3. P(a ≤ X <.b) = P(a - 0.5 ≤ X ≤ b - 0.5)
4. P(a < X <.b) = P(a + 0.5 ≤ X ≤ b - 0.5)
Aproximación de la Distribución de Poisson por la Normal.
Sea X una variable aleatoria continua que sigue una distribución de probabilidad de Poisson: X ~ P(λ), si λ > 25, se pude aproximar por una distribución normal:

Por lo tanto, sigue N(0,1) de forma aproximada.
La media, al igual que en la distribución de Poisson, viene dada por:
μx = E(X) = λ
Y la varianza, al igual que en la distribución de Poisson, viene expresada por:
σx2 = E[(X - μx)2 = λ

Corrección por continuidad:
1. P(a ≤ X ≤ b) = P(a - 0.5 ≤ X ≤ b + 0.5)
2. P(a <.X ≤ b) = P(a + 0.5 ≤ X ≤ b + 0.5)
3. P(a ≤ X <.b) = P(a - 0.5 ≤ X ≤ b - 0.5)
4. P(a <.X <.b) = P(a + 0.5 ≤ X ≤ b - 0.5)

Distribución Exponencial.
Se dice que una variable aleatoria continua X, tiene una distribución exponencial de parámetro β, si su función de densidad de probabilidad es:

Para β > 0.
Se representa por: X ~ Exp(β).
La media de la distribución normal viene dada por:
E(X) = β
Y la varianza de la distribución normal viene expresada por:
Var(X) = β²
La distribución exponencial posee una característica a tener en cuenta: Carencia de memoria.
Sea X ~ Exp(β). Si x, y ∈ Z⁺, se verifica que:P(X < x + y | X.> x) = P(X < y)

Ejercicios :

Ejercicio 1: En una distribución normal de media 4 y desviación típica 2, calcular el valor de a para que:

P(4−a ≤ x ≤ 4+a) = 0.5934

Ejercicio 2: En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.

Ejercicio 3: La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:

1. Entre 60 kg y 75 kg.

2.Más de 90 kg.

3.Menos de 64 kg.

4.64 kg.

5.64 kg o menos.

Ejercicio 4: de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución una distribución N(65, 18). Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20% la población, un 65% el segundo y un 15% en el tercero. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?

Baja cultura hasta 49 puntos.

Cultura aceptable entre 50 y 83.

Excelente cultura a partir de 84 puntos.

 

Ejercicio 5: una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen al azar 90 familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 tengan teléfono.

distribucion de probabilidad con variables aleatorias continuas

la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria.
La distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada real x es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.


No todas las variables aleatorias son discretas, este capítulo tratará sobre el segundo tipo general de variables aleatorias, llamadas variables aleatorias continuas.
Se dice que una variable aleatoria, por ejemplo X, es continua si los conjuntos de valores posibles es un intervalo completo de números, es decir, si para alguna Ax esté contenido en el intervalo A y B.

Función de Densidad de Probabilidad.


La probabilidad de que X tome un valor en el intervalo [a, b] es el área arriba de este intervalo y bajo la gráfica de una función de densidad. La curva f(x) se llama curva de densidad.
Para que f(x) sea una función de densidad de probabilidad, se deben satisfacer las siguientes condiciones:
1. f(x) > 0,...para todo x.
2.

Proposición: Si X es una variable aleatoria continua, entonces para cualquier valor de c, P( X = c) = 0. En definitiva, la probabilidad asignada a algún valor en particular es cero, mientras que la probabilidad de un intervalo no depende de si está incluido en cualquiera de sus puntos terminales.

Función de Distribución Acumulada.

La función de distribución acumulada, F(x), para una variable aleatoria continua X, está definida para todo número x mediante:
Para cada x, F(x) es el área bajo la curva de densidad a la izquierda de x. F(x) se incrementará de manera uniforme cuando aumenta x.
La función de distribución acumulada es muy útil para calcular probabilidades: Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad f(x) y función de distribución acumulada F(x). Entonces, para cualquier número a, la probabilidad es:P(X > a) = 1 - F(a)
Y para dos números cualesquiera a y b, con b > a, la probabilidad es:
P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a)Relación entre la Función de Probabilidad de Densidad y la Función de Distribución Acumulada.

Si X es una variable aleatoria continua con función de distribución de probabilidad f(x) y función de distribución acumulada F(x), entonces:F'(x) = f(x),......t ∈ (-∞, x)

Esperanza de una Variable Aleatoria Continua.

La esperanza, promedio, valor esperado o media de una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad f(x) es

A veces, se desea calcular la esperanza de alguna función h(X) de la variable aleatoria X, si se considera h(X) como una nueva variable aleatoria Y, su esperanza es:Siempre que



Sea finita.


Varianza de una Variable Aleatoria Continua.

La varianza de una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad f(x) es:
La raíz cuadrada positiva, σ, de la varianza de X, se denomina: desviación típica de X.


Proposiciones de Esperanza y Varianza de una Variable Aleatoria Continua.

Sea X una variable aleatoria continua y sean a y b dos números reales cualesquiera, se verifica que:
1. E(a·X + b) = a·E(X) + b
2. Var(a·X + b) = a²·Var(X)
3. Var(X) = E(X²) - [E(X)]²

Distribución Uniforme.

Se dice que una variable aleatoria continua X, que toma todos los valores del intervalo [a, b] real, sigue una distribución uniforme de parámetros a y b, si su función de densidad de probabilidad es:Se representa por: X ~ U(a, b).
Su función de distribución acumulada, F(x) es:

La media de la distribución uniforme viene dada por:

Y la varianza de la distribución uniforme viene expresada por:Distribución Normal.

Se dice que una variable aleatoria continua X, tiene una distribución normal o de Gauss de parámetros μ y σ, si su función de densidad de probabilidad es:

Se representa la distribución normal, por: X ~ N(μ, σ).

La media de la distribución normal viene dada por:

E(X) = μ

Y la varianza de la distribución normal viene expresada por:

Var(X) = σ²

La representación gráfica así cómo los significados de la esperanza y varianza son:

Ejercicios:

Ejercicio 1. Sea X una variable aleatoria continua que tiene la siguiente función de densidad:Hallar:a) El valor de c para que f(x) sea una función de densidad.
b) Obtener la función de distribución.
c) Calcular: P(1 ≤ X ≤ 2).
d) Calcular la esperanza y la varianza de X.
e) Si X es la cantidad diaria vendida de un producto y la ganancia del vendedor es 5 unidades monetarias por cada unidad de producto vendida si X ≤ 1, y 8 unidades monetarias si X > 1, encontrar la ganancia esperada del vendedor para cualquier día especificado.

a)Empleamos la expresión de función de densidad de probabilidad.

Para los intervalos expuestos en el enunciado del problema, en este caso:

 

Para que una variable aleatoria continua posea una función de densidad de probabilidad, tienen que cumplirse las siguientes condiciones:1. f(x) > 0,...para todo x.
2.
La función f(x) es mayor que cero, por lo que nos queda, satisfacer la primera condición:(8/3)·c = 1Y así, obtenemos el valor de c y la solución del problema, para que f(x) sea una función de densidad de probabilidad, el valor de c es de 3/8.
Por lo tanto, la función de densidad de la variable aleatoria continua X queda:

b)Empleamos la expresión de función de distribución acumulada:                                                                                              En nuestro caso, el intervalo que tenemos que realizar cálculos es 0 ≤ t ≤ x:                                                                                       Ya que si x < .0, la función de distribución es 0, y si x > 2, la función de distribución es 1, por lo tanto, la función de distribución acumulada queda tal y como se muestra a continuación:

c)Para calcular dicha probabilidad, empleamos la función de distribución acumulada tal y como se muestra a continuación:P(1 ≤ X ≤ 2) = F(2) - F(1) = 2³/8 - 1³/8 = 7/8
d)En este apartado, debemos calcular la esperanza y la varianza de la variable aleatoria continua, X.
Para el cálculo de la esperanza, empleamos la siguiente expresión
Por lo tanto, la esperanza de X, será:
Y para la varianza, se empleará la siguiente expresión:Var(X) = E(X²) - [E(X)]²
Por lo tanto:


e)Para este último apartado, nos dan otra función de la misma variable aleatoria continua X, tal que:
Nos piden la ganancia esperada del vendedor, para obtenerla, usamos la siguiente expresión:
Por lo tanto:




Ejercicio 2. Sea Y una variable aleatoria continua que tiene la siguiente función de densidad:
Hallar:
a) El valor de c para que f(y) sea una función de densidad.
b) Obtener la función de distribución.
c) Calcular: P(1 ≤ Y ≤ 1.5).
d) Calcular: P(Y > 1).
a)
Empleamos la expresión de función de densidad de probabilidadPara los intervalos expuestos en el enunciado del problema, en este caso:Operando, obtenemos:2·c + 3/4Para que una variable aleatoria continua posea una función de densidad de probabilidad, tienen que cumplirse las siguientes condiciones:
1. f(x) > 0,...para todo x.
2.
La función f(y) es mayor que cero, por lo que nos queda, satisfacer la primera condición:2·c + 3/4 = 1Y así, obtenemos el valor de c y la solución del problema, para que f(y) sea una función de densidad de probabilidad, el valor de c es de 1/8.
Por lo tanto, la función de densidad de la variable aleatoria continua Y queda:La representación gráfica de la función de densidad de probabilidad, f(y), se muestra a continuación:

b)

Empleamos la expresión de función de distribución acumulada:

En nuestro caso, el intervalo que tenemos que realizar cálculos es 0 ≤ Y ≤ 2:Ya que si y < .0, la función de distribución es 0, y si y > 2, la función de distribución es 1, por lo tanto, la función de distribución acumulada queda tal y como se muestra a continuación:La representación gráfica de la función de distribución acumulada F(Y) se muestra en la siguiente figura:

c)Para calcular la probabilidad de este apartado, empleamos la función de distribución acumulada tal y como se muestra a continuación:P(1 ≤ Y ≤ 1.5) = F(1.5) - F(1) = (1.5/16)(2 + 3·1.5) - (1/16)(2 + 3) = 19/64d)Para calcular la probabilidad que nos piden en este apartado, al igual que el anterior, hacemos uso de la función de distribución acumulada:P(Y > 1) = 1 - P(Y ≤ 1) = 1 - F(1) = 1 - (1/16)(2 + 3) = 11/16