Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad deA dado B».
No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal.
Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.
Dado un espacio de probabilidad y dos eventos (o sucesos) A.B ε F con P(B)>0, la probabilidad condicional de A dado B está definida como:
P(A | B )se puede interpretar como, tomando los mundos en los que B se cumple, la fracción en los que también se cumple A.
1. Se lanza al aire dos dados normales, si la suma de los números que aparecen es de por lo menos siete, a. determine la probabilidad de que en el segundo dado aparezca el número cuatro, b. Determine la probabilidad de que ambos números sean pares, c. Determine la probabilidad de que en el primer dado aparezca el numero dos.
Solución:
El espacio muestral es el mismo que cuando se lanza un dado dos veces y se muestra a continuación;
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
d = (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
a. Para calcular una probabilidad condicional es necesario definir los eventos A y E, siendo estos,
A = evento de que en el segundo dado aparezca el número cuatro,
E = evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos siete, (que es que es el evento que está condicionando)
E = {21 elementos, los que suman siete o más}
(6,1)
(5,2) (6,2)
E = (4,3) (5,3) (6,3)
(3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
A = {6 elementos, los que en el segundo dado aparece el cuatro}
A = {(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)}
Luego,
AÇE = {(3,4) (4,4) (5,4) (6,4)}, ½AÇE½= 4 elementos
Por tanto;
p(A½E) = ½AÇE½/ ½E½= 4/21 = 0.19048
b. E = evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos siete
(6,1)
(5,2) (6,2)
E = (4,3) (5,3) (6,3)
(3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
A = evento de que ambos números sean pares
(2,2) (4,2) (6,2)
A = (2,4) (4,4) (6,4)
(2,6) (4,6) (6,6)
(6,2)
AÇE = (4,4) (6,4) ½AÇE½= 6 elementos
(2,6) (4,6) (6,6)
p(A½E) = ½AÇE½/ ½E½
= 6/ 21
= 0.28571
c. E = evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos
siete
(6,1)
(5,2) (6,2)
E = (4,3) (5,3) (6,3)
(3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
A = evento de que en el primer dado aparezca el número dos
(2,1)
(2,2)
A = (2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
AÇE = {(2,5)}, ½AÇE½= 1 elemento
P(A½E) = ½AÇE½/½E½
= 1/21
= 0.04762
VARIABLE ALEATORIA
Una variable se dice que es aleatoria, si los posibles valores que puede tomar son determinados por el azar. En otras palabras se sabe qué valores puede tomar la variable pero no se tiene certeza de su ocurrencia, sólo se sabe que puede ocurrir con una cierta probabilidad. Por ejemplo, en una epidemia de cólera, se sabe que una persona cualesquiera puede enfermar o no (eventos), pero no se sabe cuál de los dos eventos va a ocurrir. Solamente se puede decir que existe una probabilidad de que la persona enferme.
Las variables aleatorias se clasifican:
Discretas: aquellas que resultan de contar el número de casos en los que el evento de interés ocurre, por ejemplo: numero de hijos de una familia, número de veces que llega una paciente al servicio de emergencia, etc.
Continuas: aquellas que resultan producto de una medición, por ejemplo: el peso, el nivel de hemoglobina, etc.
VALOR ESPERADO
Se llama también esperanza matemática. Se trata de un operador matemático que al ser aplicado a la función probabilidad permite el cálculo de ese valor en el caso discreto, mientras que en el caso continuo se lo aplica a la función frecuencia:
DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES DISCRETAS
Sigamos con nuestro ejemplo del centro medico de departamento de Ucayali. Nuestra variable de interés seria:
Deseo ser esterilizada.
Supongamos que a la charla asistieron tres mujeres, entonces definimos como variable aleatoria a:
X : Número de mujeres que desearían ser esterilizadas.
Antes de hacerles la pregunta sobre su deseo de ser esterilizadas, puede considerar las posibles respuestas:
X = 0 à Ninguna desearía ser esterilizada
X = 1 à Sólo una de las mujeres desearía
X = 2 à Dos mujeres desearían
X = 3 à Las tres mujeres desearían
Antes de verificar las respuestas de las 3 mujeres seleccionada; no sabe cuántas estarán de acuerdo en ser esterilizadas, pero si conociera las probabilidades de ocurrencia de cada uno de los posibles valores de la variable podría predecir su ocurrencia con una cierta probabilidad. El conjunto de las probabilidades de ocurrencia de los posibles valores de la variable aleatoria se denomina distribución de probabilidades.
En nuestro ejemplo:
A esto se le llama distribución de probabilidades discreta. Discreta porque la variable X deseo ser esterilizada es discreta.
Nosotros estudiaremos dos tipos de distribuciones de probabilidades discretas: la Binomial y la de Poisson, para su solución, utilizaremos las matemáticas y también el Excel.
DISTRIBUCION BINOMIAL
Esta distribución se basa en el proceso de Bernoulli. Se denominan procesos de tipo Bernoulli, a todo experimento consistente en una serie de pruebas repetidas, caracterizadas por tener resultados que se pueden clasificar en si verifican o no cierta propiedad o atributo, siendo aleatorios e independientes.
Para identificar un proceso Bernoulli en una serie de pruebas repetidas, se deben verificar tres condiciones:
Resultados dicotómicos: Los resultados de cada prueba se pueden clasificar en "éxito" si verifican cierta condición, o "fracaso" en el caso contrario.
Independencia de las pruebas: El resultado de una prueba cualquiera es independiente del resultado obtenido en la prueba anterior, y no incide en el resultado de la prueba siguiente.
Estabilidad de las pruebas: La probabilidad p de obtener un resultado considerado como un éxito se mantiene constante a lo largo de toda la serie de pruebas.
Cuando en un proceso del tipo Bernoulli se desea saber la probabilidad de obtener exactamente r éxitos, en una serie de n pruebas, con una probabilidad de éxito p, se puede aplicar la fórmula de la probabilidad binomial:
X = 0, 1, 2, ……, n.
La media o valor esperado es m = np
La varianza s 2 = np(1-p)
Veamos el siguiente ejemplo:
Sea el caso de una droga X, con una dosis mortal de 1g/100 ml para cobayos experimentales, en el 25% de los casos. Aplicando esta dosis a cien cobayos se desea saber cuanto vale la probabilidad de que mueran veinte de ellos.
Primero analizaremos si este caso cumple los supuestos básicos de una distribución binomial:
Los cobayos mueren (éxito) o sobreviven (fracaso).
Que un cobayo muera con la dosis, no significa que lo hará el siguiente (independencia) pues no se trata de una epidemia.
La probabilidad de que mueran se mantiene constante a lo largo de la serie de pruebas (p = 0,25).
Entonces, como si cumple los supuestos básicos, aplicamos la formula:
TABLAS DE FRECUENCIA PARA VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS
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