ESPERANZA MATEMATICA

 

En estadística la esperanza matemática (también llamada esperanza, valor esperado, media poblacional o media) de una variable aleatoria , es el número que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.

Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el valor de dicho suceso. Por lo tanto, representa la cantidad media que se "espera" como resultado de un experimento aleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento se repite un elevado número de veces. Cabe decir que el valor que toma la esperanza matemática en algunos casos puede no ser "esperado" en el sentido más general de la palabra - el valor de la esperanza puede ser improbable o incluso imposible.

La esperanza matemática de una función g(X) está dada por

 

Por ejemplo, el valor esperado cuando tiramos un dado equilibrado de 6 caras es 3,5 Podemos hacer el cálculo

 

Ejemplo : La probabilidad de que una casa de cierto tipo quede destruida por un incendio en cualquier período de doce meses es de 0.005. Una compañía de seguros ofrece al propietario una póliza de seguros contra incendio por $20,000.00 (dólares) a un año con una prima de $150.00 dólares. ¿Cuál es la ganancia esperada de la compañía?
Solución: Sea S = {se incendie, no se incendie}, el espacio muestral, La variable aleatoria asociada es X = {0,1}, donde 0 significa que se incendie y 1 que no se incendie (estos valores son arbitrarios). g(X) representa la ganancia de la compañía por cada casa asegurada (sin tomar en cuenta gastos). La situación se explica mejor en una tabla.

Evento	X	g(X)	f(X)
Se incendie	0	-$19,850.00	0.005
No se incendie	1	+$150.00	0.995

En caso de que la compañía asegure 20,000 casas, su ganancia esperada sería de $1,000,000.00 (sin tomar en cuenta gastos).

 La esperanza matemática de una función g(X) está definida por:

Ejercicio 1: Dada la experiencia aleatora de anotar las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado, calcular:1. La función de probabilidad y su representación.

x	p i
1
2
3
4
5
6
1

2. La función de distribución y su representación.

x	p i
x <1	0
1≤ x < 2
2≤ x < 3
3≤ x < 4
4≤ x < 5
5≤ x < 6
6≤ x	1

3. La esperanza matemática, la varianza y la desviación típica.

x	p i	x· p i	x 2 ·pi
1
2
3
4
5
6		1	6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ejercicio 2: Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:

 

x	p i
0	0,1
1	0,2
2	0,1
3	0,4
4	0,1
5	0,1

1. Calcular, representar gráficamente la función de distribución.

 

 

2. Calcular las siguientes probabilidades:

-p (X < 4.5)

  p (X < 4.5) = F (4.5) = 0.9

-p (X ≥ 3)

  p (X ≥ 3) = 1 - p(X < 3) = 1 - 0.4 = 0.6

-p (3 ≤ X < 4.5)

  p (3 ≤ X < 4.5) = p (X < 4.5) - p(X < 3) = 0.9 - 0.4 = 0.5