La distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada real x es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.
No todas las variables aleatorias son discretas, este capítulo tratará sobre el segundo tipo general de variables aleatorias, llamadas variables aleatorias continuas.
Se dice que una variable aleatoria, por ejemplo X, es continua si los conjuntos de valores posibles es un intervalo completo de números, es decir, si para alguna Ax esté contenido en el intervalo A y B.
Función de Densidad de Probabilidad.
La probabilidad de que X tome un valor en el intervalo [a, b] es el área arriba de este intervalo y bajo la gráfica de una función de densidad. La curva f(x) se llama curva de densidad.
Para que f(x) sea una función de densidad de probabilidad, se deben satisfacer las siguientes condiciones:
1. f(x) > 0,...para todo x.
2.
Proposición: Si X es una variable aleatoria continua, entonces para cualquier valor de c, P( X = c) = 0. En definitiva, la probabilidad asignada a algún valor en particular es cero, mientras que la probabilidad de un intervalo no depende de si está incluido en cualquiera de sus puntos terminales.
Función de Distribución Acumulada.
La función de distribución acumulada, F(x), para una variable aleatoria continua X, está definida para todo número x mediante:
Para cada x, F(x) es el área bajo la curva de densidad a la izquierda de x. F(x) se incrementará de manera uniforme cuando aumenta x.
La función de distribución acumulada es muy útil para calcular probabilidades: Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad f(x) y función de distribución acumulada F(x). Entonces, para cualquier número a, la probabilidad es:P(X > a) = 1 - F(a)
Y para dos números cualesquiera a y b, con b > a
P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a)Relación entre la Función de Probabilidad de Densidad y la Función de Distribución Acumulada.
Si X es una variable aleatoria continua con función de distribución de probabilidad f(x) y función de distribución acumulada F(x), entonces:F'(x) = f(x),......t ∈ (-∞, x)
Esperanza de una Variable Aleatoria Continua.
La esperanza, promedio, valor esperado o media de una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad f(x) es
Siempre que
Sea finita.
Varianza de una Variable Aleatoria Continua.
La varianza de una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad f(x) es:
La raíz cuadrada positiva, σ, de la varianza de X, se denomina: desviación típica de X.
Proposiciones de Esperanza y Varianza de una Variable Aleatoria Continua.
Sea X una variable aleatoria continua y sean a y b dos números reales cualesquiera, se verifica que:
1. E(a·X + b) = a·E(X) + b
2. Var(a·X + b) = a²·Var(X)
3. Var(X) = E(X²) - [E(X)]²
Distribución Uniforme.
Se dice que una variable aleatoria continua X, que toma todos los valores del intervalo [a, b] real, sigue una distribución uniforme de parámetros a y b, si su función de densidad de probabilidad es:
Se representa por: X ~ U(a, b).Su función de distribución acumulada, F(x) es:
La media de la distribución uniforme viene dada por:
Y la varianza de la distribución uniforme viene expresada por:
Distribución Normal.Se dice que una variable aleatoria continua X, tiene una distribución normal o de Gauss de parámetros μ y σ, si su función de densidad de probabilidad es:
Se representa la distribución normal, por: X ~ N(μ, σ).
La media de la distribución normal viene dada por:
E(X) = μ
Y la varianza de la distribución normal viene expresada por:
Var(X) = σ²
La representación gráfica así cómo los significados de la esperanza y varianza son:
Ejercicios:
Ejercicio 1. Sea X una variable aleatoria continua que tiene la siguiente función de densidad:
Hallar:a) El valor de c para que f(x) sea una función de densidad.b) Obtener la función de distribución.
c) Calcular: P(1 ≤ X ≤ 2).
d) Calcular la esperanza y la varianza de X.
e) Si X es la cantidad diaria vendida de un producto y la ganancia del vendedor es 5 unidades monetarias por cada unidad de producto vendida si X ≤ 1, y 8 unidades monetarias si X > 1, encontrar la ganancia esperada del vendedor para cualquier día especificado.
a)Empleamos la expresión de función de densidad de probabilidad.
Para los intervalos expuestos en el enunciado del problema, en este caso:
Para que una variable aleatoria continua posea una función de densidad de probabilidad, tienen que cumplirse las siguientes condiciones:1. f(x) > 0,...para todo x.2.
La función f(x) es mayor que cero, por lo que nos queda, satisfacer la primera condición:(8/3)·c = 1Y así, obtenemos el valor de c y la solución del problema, para que f(x) sea una función de densidad de probabilidad, el valor de c es de 3/8.
Por lo tanto, la función de densidad de la variable aleatoria continua X queda:
b)Empleamos la expresión de función de distribución acumulada:
En nuestro caso, el intervalo que tenemos que realizar cálculos es 0 ≤ t ≤ x:
Ya que si x < .0, la función de distribución es 0, y si x > 2, la función de distribución es 1, por lo tanto, la función de distribución acumulada queda tal y como se muestra a continuación:
c)Para calcular dicha probabilidad, empleamos la función de distribución acumulada tal y como se muestra a continuación:P(1 ≤ X ≤ 2) = F(2) - F(1) = 2³/8 - 1³/8 = 7/8
d)En este apartado, debemos calcular la esperanza y la varianza de la variable aleatoria continua, X.
Para el cálculo de la esperanza, empleamos la siguiente expresión
Por lo tanto, la esperanza de X, será:
Y para la varianza, se empleará la siguiente expresión:Var(X) = E(X²) - [E(X)]²
Por lo tanto:
e)Para este último apartado, nos dan otra función de la misma variable aleatoria continua X, tal que:
Nos piden la ganancia esperada del vendedor, para obtenerla, usamos la siguiente expresión:
Por lo tanto:
Ejercicio 2. Sea Y una variable aleatoria continua que tiene la siguiente función de densidad:
Hallar:
a) El valor de c para que f(y) sea una función de densidad.
b) Obtener la función de distribución.
c) Calcular: P(1 ≤ Y ≤ 1.5).
d) Calcular: P(Y > 1).
a)
Empleamos la expresión de función de densidad de probabilidad
Para los intervalos expuestos en el enunciado del problema, en este caso:
Operando, obtenemos:2·c + 3/4Para que una variable aleatoria continua posea una función de densidad de probabilidad, tienen que cumplirse las siguientes condiciones:1. f(x) > 0,...para todo x.
2.
La función f(y) es mayor que cero, por lo que nos queda, satisfacer la primera condición:2·c + 3/4 = 1Y así, obtenemos el valor de c y la solución del problema, para que f(y) sea una función de densidad de probabilidad, el valor de c es de 1/8.
Por lo tanto, la función de densidad de la variable aleatoria continua Y queda:
La representación gráfica de la función de densidad de probabilidad, f(y), se muestra a continuación:
b)
Empleamos la expresión de función de distribución acumulada:
En nuestro caso, el intervalo que tenemos que realizar cálculos es 0 ≤ Y ≤ 2:
Ya que si y < .0, la función de distribución es 0, y si y > 2, la función de distribución es 1, por lo tanto, la función de distribución acumulada queda tal y como se muestra a continuación:
La representación gráfica de la función de distribución acumulada F(Y) se muestra en la siguiente figura:
Ya que si y < .0, la función de distribución es 0, y si y > 2, la función de distribución es 1, por lo tanto, la función de distribución acumulada queda tal y como se muestra a continuación:La representación gráfica de la función de distribución acumulada F(Y) se muestra en la siguiente figura:
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