TEORIA DE CONJUNTOS

TEORIA DECONJUNTOS

La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas relacionados con estos. Intuitiva e informalmente los objetos de estudio de la Teoría de Conjuntos quedan descritos así:

1. Si x no tiene elementos, entonces x es un objeto de la Teoría de Conjuntos.
2. Si x es un conjunto, entonces x es un objeto de la Teoría de Conjuntos.
3. Los únicos objetos de la Teoría de Conjuntos son los descritos en 1 y 2.

La importancia de la Teoría de Conjuntos radica en que a partir de ella se puede reconstruir toda la matemática, salvo la Teoría de Categorías.
Por ejemplo, con la Teoría de Conjuntos se pueden definir los siguientes conceptos y probar todas sus propiedades: par ordenado, relación, función, partición, orden, estructuras algebraicas, los naturales, los enteros, los racionales, los reales, los complejos, etc.

UNION

La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto AUB  que contiene cada elemento que este por lo menos en uno de ellos. 

Son dos los conceptos básicos de la Teoría de Conjuntos:

1. Conjunto: Colección de cualquier tipo de objetos considerada como un todo, una multiplicidad vista como unidad; entidad completa bien determinada.
   Los objetos que forman al conjunto son nombrados elementos del conjunto o miembros del conjunto.
   Por colección entenderemos a una agrupación que está determinada por una propiedad enunciada por medio de un lenguaje preciso.
   Todo conjunto es una colección de objetos, pero no toda colección de objetos es un conjunto. Esta afirmación será demostrada más adelante.
2. Relación de Pertenencia: El ser elemento de es una relación binaria o de dos argumentos entre dos objetos de la Teoría de Conjuntos.
   Esta relación va de un objeto a otro, donde el segundo objeto es necesariamente un conjunto y el primero puede ser o no un conjunto.

Colecciones: Clases y Conjuntos.

 

Una colección está determinada por una propiedad P formulada en un lenguaje preciso. Una clase es una colección, cuyos objetos son los objetos de la Teoría de Conjuntos que cumplen la propiedad P que caracteriza a la colección.
Las colecciones llamadas clases, son colecciones de objetos de la Teoría de Conjuntos, y pueden ser o no conjuntos en el siguiente sentido: Todo conjunto es una clase, pero no toda clase es un conjunto.

Proposición. La clase de todos los objetos x tales que cumplen la propiedad "x no pertenece a x", no es un conjunto.

Prueba.
Supongamos que dicha clase sí fuera un conjunto y llamémosle R. Entonces:

1. Si R no pertenece a R, R cumple la propiedad que caracteriza a la clase y tenemos que R pertenece a R.
2. Si R pertenece a R, entonces R no cumple la propiedad que caracteriza a la clase y tenemos que R no pertenece a R.

 PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO

El principio fundamental de conteo establece que si hay p formas de hacer una cosa, y q formas de hacer otra cosa, entonces hay p × q formas de hacer ambas cosas.
El principio de conteo puede extenderse a situaciones donde tenga más de 2 opciones. Por ejemplo, si hay p formas de hacer una cosa, q formas para una segunda cosa, y r formas de hacer una tercera cosa, entonces hay p × q × r formas de hacer las tres cosas.
Ejemplo:

Suponga que tiene 3 camisas (llamémoslas A, B, y C), y 4 pares de pantalones (llamémoslos w, x, y, y z). Entonces Usted tiene 3 × 4 = 12 combinaciones posibles: Aw, Ax, Ay, Az Bw, Bx, By, Bz Cw, Cx, Cy, Cz
un campesino tiene 3 carretas, 8 caballos, el cual tiene que ir al pueblo utilizando una carreta y un par de caballos de cuantas formas posibles viajará este campesino

 CARRETAS:                CABALLOS
      1 2 3 4 A                          8 B

  12  23  34  45  56  67  78 
  13  24  35  46  57  68
  14  25  36  47  58
  15  26  37  48
  16  27  38
  17  28
  18

           k= {1,2, 3, 4, 5, 6,7, 8}
       n(k)= 8
           n= {a, b, c}
       n(c)= 3
   n(knk)= 84
 
n(c) X n(knk) = 3 (28) = 84