La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss y es el gráfico de una función gaussiana.
La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.De hecho, la estadística es un modelo matemático que sólo permite describir un fenómeno, sin explicación alguna. Para la explicación causal es preciso el diseño experimental, de ahí que al uso de la estadística en psicología y sociología sea conocido como método correlacional.
La distribución normal también es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos.
Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal son:
-caracteres morfológicos de individuos como la estatura;
-caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco;
-caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos;
-caracteres psicológicos como el cociente intelectual;
-nivel de ruido en telecomunicaciones;
-errores cometidos al medir ciertas magnitudes;
etc.
La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia estadística. Por ejemplo, la distribución muestral de las medias muestrales es aproximadamente normal, cuando la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es normal.[1] Además, la distribución normal maximiza la entropía entre todas las distribuciones con media y varianza conocidas, lo cual la convierte en la elección natural de la distribución subyacente a una lista de datos resumidos en términos de media muestral y varianza. La distribución normal es la más extendida en estadística y muchos tests estadísticos están basados en una supuesta "normalidad".
En probabilidad, la distribución normal aparece como el límite de varias distribuciones de probabilidad continuas y discretas. Distribución Normal No Estándar (Tipicación).
Si X tiene una distribución normal con media μ y desviación estándar σ, entonces:
Se dice que tiene una distribución normal estándar.
Aproximación de la Distribución Binomial por la Normal.
Sea X una variable aleatoria continua que sigue una distribución de probabilidad binomial: X ~ B(n, p), si n·p ≥ 5 y por ende, n·q ≥ 5, se pude aproximar por una distribución normal:
La media, al igual que en la distribución binomial, viene dada por:
μx = E(X) =n·p
Y la varianza, al igual que en la distribución binomial, viene expresada por:
σx2 = E[(X - μx)2 = n·p·(1 - p)
Corrección por continuidad:
1. P(a ≤ X ≤ b) = P(a - 0.5 ≤ X ≤ b + 0.5)
2. P(a <.X ≤ b) = P(a + 0.5 ≤ X ≤ b + 0.5)
3. P(a ≤ X <.b) = P(a - 0.5 ≤ X ≤ b - 0.5)
4. P(a < X <.b) = P(a + 0.5 ≤ X ≤ b - 0.5)
Aproximación de la Distribución de Poisson por la Normal.
Sea X una variable aleatoria continua que sigue una distribución de probabilidad de Poisson: X ~ P(λ), si λ > 25, se pude aproximar por una distribución normal:
Por lo tanto, sigue N(0,1) de forma aproximada.
La media, al igual que en la distribución de Poisson, viene dada por:
μx = E(X) = λ
Y la varianza, al igual que en la distribución de Poisson, viene expresada por:
σx2 = E[(X - μx)2 = λ
Corrección por continuidad:
1. P(a ≤ X ≤ b) = P(a - 0.5 ≤ X ≤ b + 0.5)
2. P(a <.X ≤ b) = P(a + 0.5 ≤ X ≤ b + 0.5)
3. P(a ≤ X <.b) = P(a - 0.5 ≤ X ≤ b - 0.5)
4. P(a <.X <.b) = P(a + 0.5 ≤ X ≤ b - 0.5)
Distribución Exponencial.
Se dice que una variable aleatoria continua X, tiene una distribución exponencial de parámetro β, si su función de densidad de probabilidad es:
Para β > 0.
Se representa por: X ~ Exp(β).
La media de la distribución normal viene dada por:
E(X) = β
Y la varianza de la distribución normal viene expresada por:
Var(X) = β²
La distribución exponencial posee una característica a tener en cuenta: Carencia de memoria.
Sea X ~ Exp(β). Si x, y ∈ Z⁺, se verifica que:P(X < x + y | X.> x) = P(X < y)
Ejercicios :
Ejercicio 1: En una distribución normal de media 4 y desviación típica 2, calcular el valor de a para que:
P(4−a ≤ x ≤ 4+a) = 0.5934
Ejercicio 2: En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.
Ejercicio 3: La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:
1. Entre 60 kg y 75 kg.
2.Más de 90 kg.
3.Menos de 64 kg.
4.64 kg.
5.64 kg o menos.
Ejercicio 4: de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución una distribución N(65, 18). Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20% la población, un 65% el segundo y un 15% en el tercero. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?
Baja cultura hasta 49 puntos.
Cultura aceptable entre 50 y 83.
Excelente cultura a partir de 84 puntos.
Ejercicio 5: una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen al azar 90 familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 tengan teléfono.
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